Quaternion Algebra in Post-Quantum Cryptographic Algorithms: QTRU

The rise of quantum computing represents an existential threat to the cornerstones of modern public-key cryptography.
Algorithms such as RSA, whose security relies on the difficulty of factoring large integers, become vulnerable to Shor's algorithm, which can efficiently solve this problem on quantum computers.
In response to this threat, the cryptographic community has been developing \textit{Post-Quantum Cryptography} (PQC), a new paradigm of algorithms designed to withstand quantum attacks.
The \textit{National Institute of Standards and Technology} (NIST) is currently leading a standardization process to accelerate the adoption of these technologies.

Among the most promising candidates is NTRU (\textit{Nth Degree Truncated Polynomial Ring Unit}), recognized for its efficiency and security, based on the difficulty of the \textit{Shortest Vector Problem} (SVP) in lattices, using polynomial algebra and modules.
This research focuses on an evolution of NTRU: the QTRU (\textit{Quaternion Version of the NTRU}) cryptosystem.
Its main innovation is the replacement of the commutative polynomial ring algebra with the non-commutative algebra of quaternions.
In QTRU, the elements are quaternions whose coefficients are, in turn, polynomials belonging to quotient rings, such as $\mathbb{Z}_p[x]/(x^N - 1)$.

The introduction of the non-commutative structure of quaternions ($ij = -ji = k$) aims to enhance the system's security.
This additional algebraic complexity has the potential to make the underlying problem harder to solve, providing greater robustness against both classical and quantum attacks.
This poster presents the mathematical foundations of QTRU, describing its algebraic structure, as well as the key generation, encryption, and decryption processes.
Furthermore, we analyze the impact of non-commutativity on operations and security, highlighting QTRU as a robust alternative particularly suitable for military and naval applications, where the protection of sensitive communications is critical.

El auge de la computación cuántica representa una amenaza existencial para los pilares de la criptografía de clave pública moderna.
Algoritmos como el RSA, cuya seguridad se basa en la dificultad de factorizar grandes números enteros, se vuelven vulnerables ante el algoritmo de Shor, capaz de resolver dicho problema de forma eficiente en ordenadores cuánticos.
En respuesta a esta amenaza, la comunidad criptográfica ha estado desarrollando la \textit{Criptografía Post-Cuántica} (PQC), un nuevo paradigma de algoritmos diseñados para resistir ataques cuánticos.
El \textit{National Institute of Standards and Technology} (NIST) lidera actualmente un proceso de estandarización para acelerar la adopción de estas tecnologías.

Entre los candidatos más prometedores se destaca el NTRU (\textit{Nth Degree Truncated Polynomial Ring Unit}), reconocido por su eficiencia y seguridad, fundamentadas en la dificultad del \textit{Shortest Vector Problem} (SVP) en retículos, utilizando álgebra polinómica y módulos.
Esta investigación se centra en una evolución del NTRU: el criptosistema QTRU (\textit{Quaternion Version of the NTRU}).
Su principal innovación es la sustitución del álgebra de anillos de polinomios conmutativos por el álgebra no conmutativa de los cuaterniones.
En QTRU, los elementos son cuaterniones cuyos coeficientes son, a su vez, polinomios pertenecientes a anillos cocientes, como $\mathbb{Z}_p[x]/(x^N - 1)$.

La introducción de la estructura no conmutativa de los cuaterniones ($ij = -ji = k$) busca ampliar la seguridad del sistema.
Esta complejidad algebraica adicional tiene el potencial de hacer que el problema subyacente sea más difícil de resolver, proporcionando una mayor robustez contra ataques, tanto clásicos como cuánticos.
Este póster presenta los fundamentos matemáticos del QTRU, describiendo su estructura algebraica, así como los procesos de generación de claves, cifrado y descifrado.
Además, analizamos el impacto de la no conmutatividad en las operaciones y en la seguridad, destacando el QTRU como una alternativa robusta y particularmente adecuada para aplicaciones militares y navales, en las que la protección de comunicaciones sensibles es crítica.