Aspectos da otimização robusta em problemas de programação linear com incerteza nos parâmetros.

Problemas práticos da indústria que comumente são modelados como problemas de programação linear (PL) apresentam características interessantes nos parâmetros de entrada que muitas vezes são desconsideradas, quando o valor exato de um parâmetro é desconhecido ou parcialmente conhecido, é importante ter uma visão diferente ao lidar com um PL. Essas incertezas motivam novas pesquisas em um campo de estudo conhecido como otimização robusta (OR).

Seja um PL dado por minx {c^Tx : A x = b, x<= 0} , com (A,b,c) sendo os parâmetros de entrada conhecidos em dimensões adequadas. Admitindo incerteza nos parâmetros (A,b,c), o PL original pode ser reescrito como minx{ c^Tx : Ax=b, x<= 0}:(A,b,c) E U, uma coleção de PLs, com uma estrutura comum aos os dados de entrada (A,b,c), que agora está variando em um dado conjunto de incerteza U (comumente convexo). Então, um modelo de otimização conhecido como contrapartida do modelo original precisa ser otimizado, ou seja, um PL com incerteza nos parâmetros e configurado com um certo objetivo a otimizar. O modelo novo provoca desafios no campo da programação matemática, principalmente para propor formulações robustas lineares que, além de ser imune a incerteza nos dados, não deveria afetar excessivamente a função objetivo e, melhor ainda, poderia facilmente ser estendido para problemas de programação linear inteira.

O objetivo deste trabalho é discutir alguns aspectos teóricos da OR em modelos lineares que são úteis na resolução de problemas práticos. Tais aspectos envolvem abordagens distintas, tais como: a) minimização do pior caso (Water et al. (2016) quantificaram o impacto do grau de robustez contra incertezas em um tipo de tratamento de câncer minimizando o pior erro); b) conservadorismo do conjunto de restrições (Bertsimas e Sim (2004) apresentaram uma abordagem robusta, com um parâmetro $\Gamma$ que ajusta a robustez do método proposto contra o nível de conservadorismo da solução); c) probabilidade de violar restrições (Ben-Tal e Nemirovksi (2000) estudaram como os PLs podem ser severamente afetados se o conjunto de dados são ligeiramente perturbados e estimam a probabilidade de violar restrições); d) análise convexa (Soyster (1973) foi o primeiro a propor um PL, porém com solução factível para todo conjunto de dados ao longo de um conjunto convexo de incertezas). Adicionalmente, vamos apresentar alguns resultados numéricos para um conjunto selecionado de exemplos simples, nos quais seja possível conferir e motivar um estudo mais aprofundado dos aspectos da incerteza dos dados em problemas de programação matemática.