Ciclicidade Local de Famílias de Centros em Sistemas Dinâmicos Planares

O problema centro-foco é um tema clássico da teoria qualitativa das equações diferenciais e dos sistemas dinâmicos planares. Consiste em determinar se uma singularidade não degenerada com autovalores complexos conjugados é um centro ou um foco, isto é, se as trajetórias próximas são fechadas ou espirais. 

Historicamente, O estudo desse problema remonta aos trabalhos de Poincaré e Lyapunov no século XIX, que fundaram a teoria qualitativa das EDOs. Na década de 1880, Poincaré iniciou o estudo de ciclos periódicos isolados em campos vetoriais polinomiais planos. Em 1900, Hilbert apresentou sua famosa lista de 23 problemas, incluindo a segunda parte do décimo sexto, que trata da determinação do número máximo e da configuração de ciclos limite em sistemas polinomiais, questão ainda em aberto. Consideremos sistemas polinomiais planos da forma
\begin{equation}
\dot{x}=P_n(x,y), \qquad
\dot{y}=Q_n(x,y),
\end{equation}
onde $P_n$ e $Q_n$ são polinômios de grau menor ou igual  $n$. O número máximo de ciclos limite, denotado por $H(n)$, é o número de Hilbert. Sabe-se que $H(1)=0$ e, para $n\geq 2$, o problema permanece aberto. Uma cota inferior é dada pela ciclicidade $M(n)$, o número máximo de ciclos limite que podem bifurcar de um ponto monodrómico.

Neste trabalho buscamos uma cota inferior para o número máximo de ciclos limite $M(n)$ que podem bifurcar de uma singularidade monodrómica na origem. Consideremos um sistema analítico em uma vizinhança da origem em $\mathbb{R}^2$,
\begin{equation}\label{2}
\dot{x}=f(x),
\end{equation}
com $f(0)=0$ e matriz Jacobiana $Df(0)$, com  autovalores $\alpha \pm i\beta$, $\beta\neq0$. Se $\alpha\neq0$, a origem é um foco hiperbólico pelo Teorema de Hartman-Grobman.No caso crítico $\alpha=0$, a singularidade é um foco fraco, cuja natureza depende dos termos não lineares. Neste caso sabemos que existe uma função de Lyapunov
$V(x,y)=x^2+y^2+\sum_{j=3}^{\infty}V_j(x,y),$ onde $V_j$ são polinômios homogêneos de grau $j$, tal que a derivada de Lie de $V$,
\begin{equation}
\mathcal{L}_X V=
\eta_2 r^2+\eta_4 r^4+\eta_6 r^6+\cdots ,
\end{equation}
onde $r^2=x^2+y^2$. Os coeficientes $\eta_{2k}$, chamados valores focais, determinam a estabilidade da singularidade; a origem é um centro se todos os valores focais se anulam. Se 
$\eta_2=\eta_4=\cdots=\eta_{2k}=0, \quad \eta_{2k+2}\neq0$,
então a origem é um foco fraco de ordem $k$, do qual podem bifurcar no máximo $k$ ciclos limite. As quantidades de Lyapunov $L(j)$ são polinômios obtidos dos valores focais por redução módulo o ideal gerado pelas anteriores quantidades de Lyapunov e fornecem condições algébricas para distinguir centro e foco fraco \cite{chicone2006ordinary, christopher2005differential}.

Como o cálculo completo das quantidades de Lyapunov é frequentemente computacionalmente custoso, busca-se estudar a ciclicidade local da origem utilizando apenas seus termos lineares. A técnica consiste em escolher um ponto na variedade de centros e analisar os termos lineares das quantidades de Lyapunov nesse ponto. Se o ponto pertence a uma componente de codimensão $k$, então os primeiros $k$ termos lineares são independentes. Esta é uma aplicação direta do Teorema da Função Implícita, que permite mostrar que $M(n)\geq k$. Em geral, essa técnica é utilizada para estabelecer limites inferiores para a ciclicidade local na classe de campos vetoriais polinomiais de grau $n$, (conforme \cite{GINE2021309}). Essa abordagem fornece condições para focos fracos de alta ordem e a bifurcação de múltiplos ciclos limite de pequena amplitude, permitindo estimar cotas inferiores da ciclicidade local $M(n)$ (ver \cite{christopher2005differential}).

Após analisar os termos lineares, ainda é possível obter mais ciclos limite utilizando o resultado de \cite{GINE2021309}, o qual mostra que, em uma vizinhança da origem no espaço de parâmetros, existe uma curva de focos fracos de ordem $m+l$, da qual bifurcam $m+l$ ciclos limite.
Teorema 1 [ver \cite{GINE2021309}]
Considere $s$ um ponto na variedade de centro $V_{\mathscr{C}}$ e $L_1, \dots, L_m$ os primeiros $m$ números de Lyapunov, com partes lineares independentes. Suponha que, após mudança de coordenadas se necessário, possamos escrever
\begin{equation}
    L_j(\lambda) = 
    \begin{cases} 
        \lambda_j + \mathcal{O}_2(\lambda), & j = 1, \dots, m-1, \\
        \displaystyle\sum_{n=1}^{k-1} g_{j,n}(\mu)\lambda_n + f_{j-m}\lambda_m + \mathcal{O}_2(\lambda), & j = m, \dots, m+l,
    \end{cases}
\end{equation}
onde $\mathcal{O}_2(\lambda)$ são termos de grau pelo menos 2 em $\lambda$, e $g_{j,n}$ e $f_{j-k}$ são funções analíticas em $\mu = (a,b,c)$. Se existe $\mu_0$ tal que
$f_0(\mu_0)=\dots=f_{l-1}(\mu_0)=0 \quad \text{e} \quad f_l(\mu_0)\neq0,$
e a matriz Jacobiana de $(f_0,\dots,f_{l-1})$ em $\mu_0$ tem determinante não nulo, então existem $m+l$ ciclos limite que bifurcam da origem do sistema perturbado.

Neste trabalho, combinamos os resultados teóricos anteriores para analisar a ciclicidade de sistemas polinomiais cúbicos, considerando em particular o seguinte sistema de Kukles simétrico
\begin{equation}\label{E3.2}
\dot{x}=y, \qquad
\dot{y}=x-x^{3}+a_{1}y+a_{2}x^{2}y+a_{3}xy^{2}+a_{4}y^{3}.
\end{equation}

Este estudo foi motivado pelo estudo do problema do bicentro para campos vetoriais cúbicos $\mathbb{Z}_2$-equivariantes apresentado em \cite{liu2011complete}.