Fluxos Geométricos de Curvas Planas

Vol 4 2021 - 136729
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Resumo

Pesquisa realizada na área de Geometria Diferencial, em específico, em Fluxos Geométricos de Curvas Planas. A pesquisa propõe desenvolver e entender o fluxo, chamado Curve Shortening Flow ou CSF, que ocorre quando levamos cada ponto de uma curva na direção de sua normal com sentido e intensidade definidas pela curvatura no ponto, uma medida de deformação local da curva em relação à forma de uma semirreta. Vemos que tal fluxo leva qualquer curva fechada, simples e suave para apenas um único ponto de maneira que tal evolução torne cada curva do fluxo progressivamente mais parecida com um círculo, ou seja, o CSF colapsa qualquer curva de Jordan suave em um ponto redondo.

Apoio/Financiamento da Pesquisa: PIBIC/CNPq

Questões (3 tópicos)

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Autor

Edson Filho

Muito obrigado!

Autor

Edson Filho

Muito obrigado, fico lisonjeado!

Autor

Edson Filho

Bom tarde, Luiz!

Segue abaixo minhas respostas a cada ponto:

  1.   Apesar de não ter sido o foco do projeto, existem diversos resultados para curvas não-fechadas (e também para curvas não simples), um exemplo interessante é a Grim Reaper Curve, dada pela equação y= -log (cos x), onde as curvas devolvidas pelo CSF são translações verticais da curva inicial na direção da abertura, i.e., curvas da forma: y= c - log (cos x), onde c é uma constante positiva. 
  2.   Pensando na unicidade local da EDP cuja solução é o CSF e na evolução da função curvatura dentro do fluxo (proposição 8.14 na referência [1]) para curvas convexas, é de se esperar que se há um círculo para t₀ ∈ [0,Γ), então a curva inicial, assim como todas as outras curvas do CSF, é dada por um círculo. Logo, seria condição necessária, além das tomadas pros teoremas, X₀ ter curvatura constante positiva, agora, se isto é de fato for verdade, teríamos, dentro das condições dos teorema, que um círculo pertence à família de curvas de um CSF se, e só se, a curva inicial é um círculo, já que a CSF iniciado num círculo é uma homotetia.
  3.   Os artigos originais nos quais se provam os teoremas interpretam o CSF como uma equação de calor, então é de se esperar aplicações em modelos que possam ser vistos por meio de tais equações, mas não foi estudado nenhuma aplicação específica durante o projeto.
  4.   Seguindo no devaneio, talvez pensando em normalizar uma família de curvas de maneira a manter o comprimento constante, possa então existir algum fluxo que expande a região delimitada que, tendo suas curvas normalizadas deste modo, possa cumprir a função desejada. 

Por fim, fico muito feliz com interesse no que pesquisei!

 

 

Luiz Henrique Lara dos Santos

Muito legal a sua resposta. Passa muita confiança e domínio do conteúdo!

Agora, falando de matemática, vou rebater aqui as suas respostas:

  1. Muitíssimo interessante esse fato, principalmente existirem resultados para curvas não simples, porque elas sempre parecem dar muito problema. A os exemplos que mencionou acabaram contrariando minha intuição, mas agora repensando eu acho que faz sentido esse tipo de coisa acontecer
  2. Interessante, e agora estou curioso para ler mais sobre.
  3. Faz sentido essa interpretação, uma vez que esse fluxo aparenta bem algo como uma difusão de calor, mas sinto que ela faz o caminho contrário que uma difusão. De qualquer forma, se for possível usar isso para descrever um fenômeno desse, me parece muito útil uma vez que EDO que define o fluxo tem grau 1.
  4. É, visto o comportamento da área e do comprimento das curvas na deformação, um fluxo que maximiza a área parece tomar o sentido contrário. Eu acho que essa deformação poderia ser feita também na direção normal, tentando dar alguma condição maximizadora para a área na velocidade escalar. Se eu não me engano existe uma relação entre curvatura e área, e talvez dê para usar isso.. Enfim, divago.

Excelente trabalho! Muito interessante, e dá um aval e curiosidade para muitas coisas. Uma última pergunta. Pretende continuar a pesquisar este tipo de coisa? Se sim, para que direções?

Autor

Edson Filho

Não estou pensando em continuar a pesquisa focada em geometria diferencial, apesar de ter gostado e ter sido bem gratificante a iniciação, em vez disso pretendo uma linha mais dentro da área de EDP's para o mestrado, em particular, EDP's lineares e seu comportamento em variedades, apesar de mudar a área, esta linha emprega resultados das mais diversas áreas, incluindo a própria geometria diferencial.

Instituições
  • 1 UNICAMP
Eixo Temático
  • EXATAS
Palavras-chave
Geometria Diferencial de Curvas
Análise Geométrica
Curve Shortening Flow