A equação do calor unidimensional e bidimensional e aplicações
Detalhes
- Tipo de apresentação: Trabalho
- Eixo temático: EXATAS
- Palavras chaves: Equações diferenciais parciais; Equação do calor; Equações parabólicas;
- 1 Unicamp
A equação do calor unidimensional e bidimensional e aplicações
FRANCISCO DE MELLO CALDERARO
UNICAMP
Resumo
Nesse projeto foi estudada a equação do calor unidimensional e n-dimensional em regiões limitadas, com diferentes condições de contorno, e em todo o espaço. Para diferentes formulações de problema com a equação do calor, foram estudadas existência e unicidade de solução, além de outras propriedades de solução, como o Princípio do Máximo, regularidade e dependência contínua de solução em relação aos dados do problema. Primeiramente, foi realizado um estudo preliminar sobre séries de Fourier e sobre a classificação de equações diferenciais parciais de 2ª ordem em elíptica, parabólica e hiperbólica. Em seguida, estudou-se a equação do calor unidimensional, sua dedução e os problemas da barra finita, no caso com extremidades a temperatura constante e no caso com extremidades termicamente isoladas. Calculou-se solução para esses problemas no caso homogêneo e estudou-se propriedades destas soluções. Foi, então, estudado o problema de valor inicial da equação do calor no espaço todo, calculadas soluções particulares e visto sob quais condições tal problema tem solução única. Por fim, estudou-se a equação do calor n-dimensional em regiões limitadas. Em especial, o problema da equação do calor nessas regiões com condição de fronteira do tipo Dirichlet. Foi estudada a unicidade de solução deste problema, bem como outras propriedades de solução.
Apoio/Financiamento da Pesquisa: PIBIC/CNPq
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FRANCISCO DE MELLO CALDERARO
Olá, Guilherme. Agradeço seu feedback! Não entendi bem o que você quis dizer com a solução em sistemas de coordenadas curvilíneos. Se for apenas uma mudança de coordenadas, com f e g dadas nessas novas coordenadas, mas com a equação do calor ainda dada para (x_1, ..., x_n, t), i.e, u_t - Δ_x u = f, basta compor com a mudança de coordenadas para obter as funções f e g nas coordenadas (x_1, ..., x_n, t) e obter os resultados mostrados no trabalho. Se for útil, pode-se ainda compor a solução u para tê-la nas coordenadas novas. Assim, as propriedades ainda valem para u(x, t) e sua validade para u(σ(y,s)), onde (x,t) = σ(y,s) é a mudança de coordenadas, depende de como a função σ é dada.
Se por outro lado, a equação do calor é também dada nas novas coordenadas, i.e, u_s - Δ_y u = f, então os resultados seguem diretamente se as coordenadas (y,s) forem independentes, i.e., se a derivada de uma direção em relação a outra for zero, por exemplo dy_1/dy_2 = 0.
Que tipo de problemas de definição das condições de contorno você pensou, não entendi essa parte. Mas, de fato, a fronteira da região onde se está trabalhando deve ser regular (de classe C1), para serem válidas as propriedades citadas.
Espero ter esclarecido as dúvidas e que meus comentários tenham sido claros e caso contrário, por favor continuemos esse tópico!