Monotonicidade dos zeros dos polinômios de Jacobi

Os polinômios ortogonais desempenham papel fundamental em diversas áreas da Matemática, como Física Matemática, Métodos Numéricos e Teoria da Aproximação. Dentre as principais famílias destacam-se os polinômios de Jacobi, que dependem de dois parâmetros reais α e β, com α, β > −1, e são ortogonais no intervalo (−1,1) em relação a uma função peso específica. Este trabalho tem como objetivo investigar o comportamento monótono dos zeros dos polinômios de Jacobi quando os parâmetros α e β variam. Para isso, utilizam-se os Teoremas clássicos de Markov e Stieltjes, que estabelecem critérios para a monotonicidade dos zeros de polinômios ortogonais a partir da variação da função peso ou da equação diferencial associada. Como resultado, verifica-se que os zeros dos polinômios de Jacobi são decrescentes em relação ao parâmetro α e crescentes em relação ao parâmetro β. Esse comportamento evidencia a influência direta da função peso na distribuição dos zeros e reforça a importância dos teoremas clássicos no estudo dessas famílias de polinômios.