Uma Exploração sobre Torções Bem-Arredondadas de Reticulados no Plano

Os reticulados desempenham um papel fundamental em diversas áreas da matemática, incluindo teoria  números algébricos e teoria dos corpos e teoria dos corpos finitos. Em particular, reticulados derivados de corpos de números totalmente  reais são candidatos promissores para a construção de reticulados com boas propriedades, como  empacotamento esférico e distância produto mínima \cite{Boutros1996, BayerFluckinger2006}. Neste trabalho, nos baseamos nas referências \cite{DamirKarpuk2019, Fukshansky2012} e exploramos o conceito de torções bem-arredondadas em reticulados oriundos de corpos quadráticos reais, com foco na construção explícita dessas torções.

Para isso, consideramos $\Lambda$  um reticulado de posto  completo em $\mathbb{R}^n$. O conjunto dos vetores mínimos de $\Lambda$ é definido por
\begin{equation}
S(\Lambda)= \{x \in \Lambda : \Vert x \Vert ^2=| \Lambda |\}, 
\end{equation}
onde $|\Lambda| = min\{{\Vert x \Vert}^2 : x \in \Lambda, \ x\neq 0\}$ e $\Vert$  $\Vert$ é a norma euclidiana usual em $\mathbb{R}^n$. Um reticulado $\Lambda$ é bem arredondado se $S(\Lambda)$ gera $\mathbb{R}^n$ como espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$. 

Seja $\mathcal{I}$ um ideal no anel dos inteiros $\mathcal{O}_K$ de um corpo quadrático real $\mathbb{K} = \mathbb{Q}(\sqrt{D})$.
A ideia central consiste em aplicar uma torção por meio de uma matriz diagonal
de forma que o reticulado torcido associado ao ideal $\mathcal{I}\subset \mathcal{O}_{\mathbb{K}}$ torne-se bem-arredondado.

Primeiramente, introduzimos a noção de uma base $B$ de um reticulado $\Lambda \subset \mathbb{R}^2$ ser \textit{boa para torção}.

Considere o grupo diagonal 
\begin{equation} 
\mathcal{A}_2 = \left\{ T_\alpha = \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & 1/\alpha \end{bmatrix} : \alpha > 0 \right\}
\end{equation} 
e seja $\Lambda \in \mathcal{L}_2:={SL2(\mathbb{R})}/{SL2(\mathbb{\mathbb{Z}})}$
 um reticulado. 

Uma base $B$ de $\Lambda$ será dita \textit{boa para torção} (ou simplesmente uma \textit{boa base}) se existir uma matriz de torção $T_{\alpha} \in \mathcal{A}_2$ tal que o reticulado torcido $T_{\alpha}\Lambda$ seja bem arredondado e possua $T_{\alpha}B$ como uma base constituída de vetores mínimos.

Diante disso, mostramos que $B$ é boa para torção se, e somente se, 
\begin{equation} 
F(B) = F(x, y) = N(x)^2 + N(x)N(y) + N(y)^2 - \frac{N(\mathcal{I})^2 \Delta_{\mathbb{K}}}{4}\leq 0, \end{equation}
onde $N(\cdot)$ representa a norma, $N(\mathcal{I})$ a norma do ideal e $\Delta_{\mathbb{K}}$ o discriminante do corpo  $\mathbb{K}$.
Neste caso, a matriz de torção $T_{\alpha}$ é dada por
$\alpha = ((y^2 - x^2)(x^2 - y^2))^{1/4}.$

Ademais, mostramos que o reticulado ortogonal é uma torção de $\Lambda_{\mathcal{I}}$ se, e somente se, o ideal $\mathcal{I}$ admitir uma base $B = {x, y}$ satisfazendo $N(x) + N(y) = 0$, bem como o reticulado hexagonal é uma torção de $\Lambda_{\mathcal{I}}$ se, e somente se, $\mathcal{I}$ admitir uma base $B = {x, y}$ tal que $F(x, y) = 0$.

Este estudo contribui para a compreensão das torções bem-arredondadas de reticulados $\Lambda_{\mathcal{I}}$ obtidos através de corpos quadráticos reais, oferecendo uma abordagem explícita para o seu cálculo. A formalização dos critérios de “boa torção” possibilita avanços relevantes na compreensão das propriedades geométricas dos reticulados oriundos de corpos quadráticos reais \cite{DamirKarpuk2019}.
As implicações desses resultados são significativas para aplicações em comunicação sem fio \cite{Oggier2004}, onde reticulados com boas propriedades são essenciais para garantir a segurança e a eficiência dos sistemas de comunicação.

\section*{Agradecimentos}
Esta pesquisa é financiada pela FAPESP Proc. 2023/15735-8 e CNPq 405842/2023-6. 
 As opiniões, hipóteses e conclusões ou recomendações expressas neste material são de responsabilidade dos autores e não necessariamente refletem a visão da FAPESP e do CNPq.