Grafos e emparelhamentos de arestas de polígonos regulares

Em Topologia Geral, o emparelhamento de arestas de um polígono regular $\mathcal{P}_n$ com $n$ lados pode ser visto como uma aplicação quociente que leva pares de arestas do bordo de $\mathcal{P}_n$ a um arco de curva sobre uma superfície $M$. A imagem do bordo de $\mathcal{P}_n$ forma um grafo conexo $\mathcal{G}=(V,A)$ mergulhado em $M$, com $A$ arestas e $V$ vértices, conhecido como grafo de emparelhamento de arestas de polígono regular \cite{faria2010emparelhamentos}. 
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O conjunto de segmentos de reta em $\mathcal{P}_n$, que conecta pares de arestas identificadas pela aplicação quociente, é chamado de diagrama de emparelhamento de arestas.
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Se $M$ é uma superfície orientada com gênero $g$ e $\mathcal{G}=(V,A)$ é um grafo $k$-regular (isto é, todos os vértices têm grau $k$), então:
$V={2(2g-1)}/{(k-2)}$, $A=k(2g-1)/(k-2)$ e $n=2A$.
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Diversas perguntas surgem sobre esses grafos e emparelhamentos de arestas, como:

$\bullet$  Quantos emparelhamentos existem associado a um par   $(\mathcal{P}_n,M)$?

$\bullet$ Quantos grafos de emparelhamento existem associados a um par $(\mathcal{P}_n, M)$?

$\bullet$ Quantos diagramas  existem associados a cada grafo de emparelhamento do par $(\mathcal{P}_n, M)$?

Para $k=3$, os grafos de emparelhamento trivalentes podem estar relacionados à tesselação $\{12g-6, 3\}$ \cite{faria2010emparelhamentos}. Em 1982, Jørgensen e  Näätänen  \cite{Jorgensen-Naatanen} demonstraram a existência de oito diferentes emparelhamentos de $\mathcal{P}_{18}$ no bitoro, associados a cinco grafos trivalentes não isomorfos. Para o Tritoro Nakamura mostrou, em \cite{Nakamura}, a existência de 65 grafos trivalentes associados a 927 emparelhamentos distintos de um polígono regular com 30 lados. 
%Em \cite{gheyza2014}, os autores determinaram famílias de grafos trivalentes associados a emparelhamentos  em superfícies com gênero $g > 3$.

Com o objetivo de determinar  famílias de grafos trivalentes para superfícies com gênero $g > 3$, em \cite{faria2016surgeries}, foi introduzido o conceito de cirurgia de emparelhamento de arestas (ver Figura \ref{figura01}), que permite construir novos grafos de emparelhamento para superfícies de gênero predeterminado a partir de grafos de emparelhamento já conhecidos.  Essas operações, que envolve a soma conexa dos grafos ao mesmo tempo que  soma faz a soma conexa das superfícies, possibilitaram demonstrar que todo grafo resultante dessas cirurgias, aplicadas a um número finito de grafos de emparelhamento trivalentes, é também um grafo trivalente de emparelhamento de arestas, contribuindo para a obtenção de um número significativo de grafos de emparelhamento de arestas trivalentes.

Em \cite{CatDavid1}, foram introduzidas as técnicas de extensão e contração de grafos em superfícies, onde um vértice com grau maior que 3 pode ser "estirado"  em dois novos vértices e uma  arestas. Essas técnicas garantem que qualquer grafo de emparelhamento de arestas pode ser obtido pela extensão de algum emparelhamento com único vértice e $2g$ arestas. A combinação de novas cirurgias, da extensão e contração de grafos sobre a superfície, junto com a troca de arestas sobre a superfície (ver Figura \ref{figura02}), onde uma aresta pode ser levada de um vértice até outro desde que não salta nenhuma outra aresta. Essas técnicas  introduzidas em  \cite{jesus2022grafos}, são suficientes para determinar qualquer grafo de emparelhamento de arestas de um polígono regular.

Este trabalho tem como objetivo apresentar as técnicas descritas acima, com os principais resultados, e exemplificar como construir novos emparelhamentos a partir de emparelhamentos já conhecidos.