Análise Numérica Teórica do Modelo SIR para a COVID-19

No decorrer da história, as populações de diferentes lugares foram acometidas por doenças infecciosas que se tornaram posteriormente epidemias. Dessa forma, a criação de modelos matemáticos epidemiológicos vêm como uma ferramenta de grande ajuda nesse estudo. Esses modelos levam em conta as características como propagação, contaminação, imunização, entre outras observações das doenças a serem estudadas, confrontando os seus resultados com aqueles obtidos de maneira experimental ou encontrados durante os períodos ativos da infecção. Nesse sentido, o modelo SIR, proposto por McKendrick e Karnak em 1927, é um modelo epidemiológico compartimental definido por um conjunto de equações diferenciais ordinárias. Nele, uma população fixa (N) é dividida em três compartimentos: suscetíveis (S), os indivíduos que têm possibilidade de serem contaminados pela doença em questão; infectados (I), os que estão contaminados; e removidos (R), aqueles que não têm possibilidade de se contaminar nem de contaminar outros, ou seja, que foram isolados, que já se curaram da doença e estão imunes ou que faleceram por conta dela. Matematicamente, o modelo é descrito pelo seguinte sistema de EDOs:
dS/dt =−βIS/N, (1)
dI/dt = (βIS/N)−γI, (2)
dR/dt =γI. (3)
Usualmente o parâmetro β caracteriza a taxa de transmissão da doença, ou seja, ele representa a conversão da classe S para a classe I. Quanto maior for o seu valor, maior será a taxa de transmissão da COVID-19. Este parâmetro depende de diversos fatores, como a evolução da patologia, contato físico e hábitos de higiene dos indivíduos da população e fatores climáticos do local da epidemia, entre outros. O parâmetro γ é a taxa de recuperação, ou seja, a taxa que representa a conversão da classe I para a classe R, assim os indivíduos que a partir de fatores como o tempo de incubação do vírus, de no mínimo 15 dias no corpo humano, deixaram de ser infectados e passaram a ser recuperados, vale citar que o seu inverso γ-¹ caracteriza o tempo no qual um indivíduo fica infectado antes de ser realocado para classe dos removidos. Além disso, temos a definição do R0 = β/γ, que representa um parâmetro fundamental nesse modelo sendo chamado de número básico reprodutivo, Ele pode ser entendido como o número médio de pessoas (em S) que uma pessoa doente (em I) contamina no início da pandemia. Um dos objetivos principais no uso desses modelos para estudar uma pandemia está relacionado a sua capacidade de fazer predições acerca do comportamento futuro dessas doenças, podendo contribuir como uma ferramenta auxiliar para os governos e a população em geral na preparação de medidas de contenção e enfrentamento dessas doenças.