Grafos de aplicações entre superfícies

Os invariantes introduzidos por Vassiliev em~\cite{vassiliev1992complements}, 
no início da década de 1990, servem para classificar as classes de isotopia no espaço dos nós em $\mathbb{R}^3$. 
Essa abordagem foi posteriormente adaptada por vários autores para aplicações entre outras variedades, como no estudo de curvas planas por Arnol'd em~\cite{arnold1994}, no estudo de superfícies no espaço tridimensional por Goryunov em~\cite{goryunov1997local}, também no estudo 
de aplicações de 3-variedades no espaço tridimensional 
em~\cite{goryunov1997local} e no estudo de aplicações 
entre superfícies por Ohmoto-Aicardi em~\cite{ohmoto2006first}. 
Nesses contextos, a análise frequentemente depende das propriedades do conjunto imagem da aplicação, embora muitas imagens com as mesmas propriedades possam possuir conjuntos regulares não equivalentes.

Focando no estudo do conjunto singular, foi introduzido 
em~\cite{de2001invariantes,hacon2007stable} um invariante topológico global que contribui significativamente para a classificação de aplicações estáveis 
entre superfícies orientadas.
Esses grafos tornaram-se uma ferramenta importante no estudo de aplicações entre variedades de baixa dimensão, e o estudo foi estendido para outras aplicações, como as aplicações de Gauss de superfícies fechadas e orientadas imersas no espaço tridimensional \cite{mendes2011stable} e aplicações 
de 3-variedades fechadas em $\mathbb{R}^3$ 
\cite{mendes2009global,huamani2019invariants}.

As somas conexas de $n$ cópias da superfície $\mathbb{T}^2$ (\emph{toro}) e $p$ cópias da superfície $\mathbb{P}^2$ (plano projetivo) serão denotadas, respectivamente, por $n\mathbb{T}^2$ e $p\mathbb{P}^2$.

O objetivo deste trabalho é apresentar os principais resultados recentes sobre aplicações estáveis entre superfícies fechadas, obtidos em \cite{JesusRomeroYamamoto_preprint}, principalmente sobre aplicações do $n$-toro no $m$-toro e no $q\mathbb{P}^2$, assim como aplicações do $p\mathbb{P}^2$ no $n$-toro e no $q\mathbb{P}^2$. Apresentaremos condições necessárias e suficientes para que grafos com pesos nos vértices possam ser associados a alguma aplicação entre duas superfícies fechadas.

As principais ferramentas utilizadas são: i) cirurgias de aplicações estáveis (ver Figura \ref{fig:soma}), introduzidas 
em \cite{hacon2007stable}, que podem ser vistas como soma conexa de duas aplicações ou como uma alteração dos conjuntos singular e regular da aplicação, aumentando o gênero da superfície do domínio; ii) transições de codimensão um que alteram o conjunto singular (ver Figura \ref{fig:transi}), introduzidas em \cite{ohmoto2006first}, que podem 
criar novas curvas singulares ou unir duas dessas curvas.